常微分方程

                                                                                                           

 

 

      
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同学们在学习中如有问题,可用以下两种方式与我们联系。我们将定期在网上回答同学们的问题。

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  email:ODE@nwu.edu.cn    

 网上答疑

问题1:求解一阶微分方程的几何意义?

回答:求微分方程经过点的一条积分曲线,就是在区域的定义域)内求一条经过点的曲线,使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相吻合。

问题2:解的存在惟一性定理中的意义?
回答:就是保证逐步逼近序列均有意义时对自变量的限制。具体详见课本定理证明后的附注1.

问题3
:什么是一阶微分方程的初等积分法?
回答:就是通过积分求解常微分方程的一种方法,其特点是微分方程的解可用初等函数以及初等函数的积分形式来表示。

问题4:奇解的几何意义?
回答:奇解对应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过。

问题5:求方程的通解。
回答这是一阶隐式方程,但其左边可进行因式分解得

从而原方程可以化为

解方程得其通解为,包含了
解方程得其通解为
所以原方程的通解为

问题6
:二阶线性方程组与黎卡提方程之间的关系?
回答:二阶齐次线性方程组可以与某一个黎卡提方程等价,这表明二阶线性方程组与黎卡提方程(纯量)解之间的关系。只要其中一个方程可以求解,则另一个方程就可求解。我们知道1841年刘维尔证明了黎卡提方程一般不能用初等积分法求解,即方程的解不能用初等函数及其积分形式来表示的结论,这样两个未知函数的齐次线性微分方程组一般也不可求初等积分的解,但知道它的一个非零解时,方程组可求解。

 

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